Questão 20

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Os pontos A = (3,4) e B = (4,3) são vértices de um cubo, em que é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a

$sqrt{8}$

$sqrt{12}$

$sqrt{18}$

Gabarito:

$sqrt{12}$

Resolução:

A medida a da aresta do cubo é dada por:

$a = AB = sqrt{(4-3)^2+(3-4)^2} = sqrt{2}$

Como os vértices do octaedro são os centros das faces do cubo, e seja b a medida das arestas do octaedro regular, fazendo um corte no centro do octaedro e do cubo, temos:

$b^2 = left (frac{sqrt{2}}{2} ight )^2+ left (frac{sqrt{2}}{2} ight )^2$

$b^2 = frac{2}{4}+frac{2}{4}$

$b^2 = 1$

$b = 1$

Assim, a área da superfície lateral desse octaedro é dada pela área de oito triângulos equiláteros de lado b. Portanto, será:

$8cdot b^2 cdotfrac{sqrt{3}}{4} = 8cdot 1^2 cdotfrac{sqrt{3}}{4} = 2sqrt{3}$ .

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