Questão 12

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Dada a cônica λ: x² - y² = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à λ no ponto P = (2, )?

$y=sqrt 3 (x-1)$

$y=frac{sqrt 3}{2}x$

$y=frac{sqrt 3}{3}(x+1)$

$y=-frac{sqrt 3}{5}(x-7)$

$y=-frac{sqrt 3}{2}(x-4)$

Gabarito:

$y=-frac{sqrt 3}{2}(x-4)$

Resolução:

$\\ ext{(1) Cálculo da reta } r ext{ tangente a } lambda ext{ em P(2,} sqrt{3} ext{):} \\ (r):;;y=mx+n\\ Pin r;;Rightarrow;;sqrt{3}=2m+n;;Rightarrow;;n=sqrt{3}-2m;;;;(i)\\ left{egin{matrix} x^2-y^2=1\ y=mx+n end{matrix} ight.;;Rightarrow;;x^2-(mx+n)^2=1;;Rightarrow;;(1-m^2)x^2-2mnx-(n^2+1)=0\\ ext{Como a reta } r ext{ é tangente à } lambda ext{, então a equação acima tem apenas uma solução. Logo:} \\ Delta =0;;Rightarrow;;4m^2n^2+4(1-m^2)(n^2+1)=0;;Rightarrow;;4m^2n^2+4n^2+4-4m^2n^2-4m^2=0;;Rightarrow;;n^2+1-m^2=0;;;;(ii)$

$\\ ext{De } (i) ext{ e } (ii) ext{, segue que:} \\ 1-m^2+(sqrt{3}-2m)^2=0;;Rightarrow;;3m^2-4sqrt{3}m+4=0\\ Delta=16cdot3-16cdot3=0;; herefore;;m=4sqrt{3}/6=frac{2sqrt{3}}{3}\\ ext{(2) Ora, o coeficiente angular de uma reta perpendicular a } r ext{ é:} \\ m_{tangente}cdot m=-1;; herefore;;m_{tangente}=-frac{sqrt{3}}{2}\\ ext{Analisando as alternativas, a única possível é a letra E.}$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de q...

Ver questão

Questão 2

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α2 +β2 é igual a

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que , e k ∈ IR. Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valo...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igu...

Ver questão