Questão 2

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α² +β² é igual a

-2

Gabarito: 0

Resolução:

Vamos chamar $A = alpha$ e $B= eta$ .

Como $left | alpha ight | = left | eta ight | = 1$ , isso indica que ambos estão na circunferência trigonométrica, já que a distância deles é igual a 1. Como a distância entre eles é $sqrt{2}$ , vamos ter que o triângulo formado por $ABO$ , sendo $O$ a origem do sistema de coordenadas, vai ser metade de um quadrado da seguinte forma:

Analisando o desenho, vamos perceber que todos os ângulos azuis são iguais, assim como todos os ângulos vermelhos tambem são iguais. Então podemos perceber que as coordenadas de $A$ e $B$ são "invertidas". Ou seja, se $A = x + yi$ temos que $B = -y + xi$ . Fazendo então o que a questão nos pede:

$alpha^2 + eta^2 = A^2 + B^2$

$alpha^2 + eta^2 = (x+yi)^2 + (-y+xi)^2$

$alpha^2 + eta^2 = (x^2 + 2xyi - y^2) + (y^2 - 2xyi - x^2)$

$alpha^2 + eta^2 = x^2 -x^2 + 2xyi- 2xyi - y^2 + y^2$

$alpha^2 + eta^2 = 0$

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