Questão 5

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem grau igual a

Gabarito: 32

Resolução:

Sendo q a razão da nossa PG, temos que os graus dos 5 polinômios serão: $2, 2q, 2q^2, 2q^3, 2q^4$ .

Pelo que é informado no enunciado, temos:

$\ 2 + 2q + 2q^2+2q^3+2q^4 = 62 \ q + q^2+q^3+q^4 = 30 \ q + q^2+q^3+q^4 - 30 = 0$

Para descobrirmos o valor de q, vamos utilizar o método de inspeção de raízes. Sabemos que $q = frac{a}{b}$ , onde a é um divisor de 30 e b um divisor de 1. Portanto, temos que os possíveis valores para q são: 1, 2, 3, 5, 6, 10,15 e 30.

(i) q = 1:

$\ 1+1^2+1^3+1^4 - 30 = 0 \ 4- 30 = 0 \ -26 eq 0$

Logo q = 1 não é uma raiz desse polinômio.

(ii) q = 2:

$\ 2+2^2+2^3+2^4 - 30 = 0 \ 2+4+8+16- 30 = 0 \ 0 = 0$

Logo q = 2 é uma das raízes desse polinômio.

O grau do polinômio de maior grau, entre os cinco, considerados, é $2q^4 = 2cdot 2^4 = 32$ .

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