Questão 18

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, , mede 40º. Sobre o lado , tome o ponto E tal que = 15º. Sobre o lado , tome o ponto D tal que = 35º. Então, o ângulo vale

35º

45º

55º

75º

85º

Gabarito: 75º

Resolução:

Dados do enunciado:

$Bhat{A}C = 40^{circ}$
$Ahat{C}E = 15^{circ}$
$Dhat{B}C = 35^{circ}$
$Ehat{D}B = heta$

Analisando alguns triângulos formados, ângulos internos e alternos, temos:

$Ahat{B}C = Ahat{C}B = frac{180-40}{2} = 70^{circ}$
$Dhat{B}A = 70^{circ} - 35^{circ} = 35^{circ}$
$Ehat{C}B = 70^{circ} - 15^{circ} = 55^{circ}$
$Bhat{D}C = 180^{circ} - (35^{circ}+70^{circ}) = 75^{circ}$
$Dhat{F}C = Ehat{F}B = 180^{circ} - (75^{circ}+15^{circ}) = 90^{circ}$
$Dhat{F}E = Chat{F}B = 180^{circ} - 90^{circ} = 90^{circ}$
$Bhat{E}F = 180^{circ} - (90^{circ}+35^{circ}) = 55^{circ}$
$Dhat{E}F = 180^{circ} - (90^{circ}+ heta ) = 90^{circ}- heta$

Com todos esses ângulos já definidos, podemos construir a figura a seguir:

Olhando para os triângulos FBC e FBE, podemos notar que eles são congruentes pelo critério ALA, já que possuem os mesmos ângulos e compartilham um mesmo lado, assim temos que FC = FE e BC = BE.

Com isso podemos analisar os triângulos DFC e DFE, que também são congruentes, pelo critério LAL, já que FC = FE e DF é um lado comum, e entre eles temos o ângulo reto. Portanto, através da congruência, temos que $Fhat{D}C = heta = 75^{circ}$ .

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