Questão 16

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) A soma de todas as soluções distintas da equação

cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0,

que estão no intervalo 0 ≤ x ≤ π/2, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Substituindo $3x = y$ na equação inicial e utilizando algumas relações trigonométricas, temos:

$cos(3x) + 2cdot cos(6x) + cos(9x)=0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cos(y) + 2cdot cos(2y) + cos(3y)=0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cdot cos(2y) + [cos(3y) + cos(y)] =0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cdot cos(2y) + left [2cdot cosleft (frac{3y+y}{2} ight )cdot cosleft (frac{3y-y}{2} ight ) ight ] =0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cdot cos(2y) + left [2cdot cos(2y) cdot cos(y) ight ] =0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cdot cos(2y) cdot (1+cos(y)) =0Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cos(2y) cdot (1+cos(y)) =0$

Com essa última equação, temos que:

$(i) ext{ }cos(2y)=0$

$(ii) ext{ }1+cos(y) = 0 Rightarrow cos(y) = -1$

Para cada uma delas, teremos:

$(i) ext{ } 2y=frac{pi}{2}+ncdot pi$ , tal que $n in mathbb{Z} Rightarrow$

$Rightarrow 6x = frac{pi}{2}+ncdot pi$ , tal que $n in mathbb{Z} Rightarrow$

$Rightarrow x = frac{pi}{12}+ncdot frac{pi}{6}$ , tal que $n in mathbb{Z}$

Como queremos encontrar $x$ entre $0$ e $frac{pi}{2}$ , teremos que $n$ pode assumir os valores:

$n =0 Rightarrow x = frac{pi}{12}$

$n =1 Rightarrow x= frac{3pi}{12}$

$n =2 Rightarrow x = frac{5pi}{12}$

$(ii) ext{ } y=pi+ncdot 2pi$ , tal que $n in mathbb{Z} Rightarrow$

$Rightarrow 3x = pi+ncdot 2pi$ , tal que $n in mathbb{Z} Rightarrow$

$Rightarrow x = frac{pi}{3}+ncdot frac{2pi}{3}$ , tal que $n in mathbb{Z}$

Como queremos encontrar um valor de $x$ entre $0$ e $frac{pi}{2}$ , teremos que $n$ pode assumir apenas o valor:

$n =0 Rightarrow x = frac{pi}{3}$

Com isso a soma, de todas as soluções, será:

$dfrac{pi}{12}+dfrac{3pi}{12}+dfrac{5pi}{12}+dfrac{pi}{3} = dfrac{13pi}{12}$

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