Questão 14

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Para x ∈ IR, o conjunto solução de $left | 5^{3x} - 5^{2x+1}+4cdot5^{x} ight | = left | 5^x - 1 ight |$ é

$left { 0,2pm sqrt{5},2pm sqrt{3} ight }$

$left { 0,1,log_5(2+sqrt{5}) ight }$

$left { 0,frac{1}{2}log_52,frac{1}{2}log_53,log_5(frac{sqrt{2}}{2}) ight }$

$left {0,log_5(2+sqrt{5}),log_5(2+sqrt{3}),log_5(2- sqrt{3}) ight }$

A única solução é x = 0

Gabarito:

$left {0,log_5(2+sqrt{5}),log_5(2+sqrt{3}),log_5(2- sqrt{3}) ight }$

Resolução:

Para resolvermos a equação $left | 5^{3x} - 5^{2x+1}+4cdot5^{x} ight | = left | 5^x - 1 ight |$ , vamos usar $5^x = y$ e substituir na equação, sendo assim, temos:

$\ left | y^{3} - 5y^{2}+4y ight | = left | y - 1 ight | Longleftrightarrow$

$\ Longleftrightarrow left | ycdot (y-4)cdot (y-1) ight | = left | y - 1 ight | Longleftrightarrow$

Como temos o termo $left | y - 1 ight |$ dos dois lados da equação teremos que:

$(i) ext{ }left | y - 1 ight | = 0 Longleftrightarrow y = 1$

$\ (ii) ext{ }left | y ight | cdot left |y-4 ight | = 1 Longleftrightarrow ycdot(y-4) = pm 1 Longleftrightarrow y^2-4y-1 = 0 ; ext{ ou }; y^2-4y+1 = 0$

Para essas duas opções, teremos:

$y^2-4y-1 = 0 Rightarrow y = 2 pm sqrt{5}$

$y^2-4y+1 = 0 Rightarrow y = 2 pm sqrt{3}$

Porém, note que como $5^x = y$ , $y$ obrigatoriamente será maior que $0$ . Portanto, $y = 2 - sqrt{5}$ não é uma possível solução, já que $2 - sqrt{5} < 0$ .

Então os possíveis valores de $y$ são: $y = 2 + sqrt{5}$ , ou $y = 2 + sqrt{3}$ , ou $y = 2 - sqrt{3}$ , ou $y = 1$ .

Logo temos:

$a) ext{ }y = 2 + sqrt{5} Rightarrow 5^x = 2 + sqrt{5} Rightarrow x = log _{5} 2 + sqrt{5}$

$b) ext{ }y = 2 + sqrt{3} Rightarrow 5^x = 2 + sqrt{3} Rightarrow x = log _{5} 2 + sqrt{3}$

$c) ext{ }y = 2 - sqrt{3} Rightarrow 5^x = 2 - sqrt{3} Rightarrow x = log _{5} 2 - sqrt{3}$

$d) ext{ }y = 1 Rightarrow 5^x = 1 Rightarrow x = 0$

Portanto, $x = 0$ , ou $x = log _{5} 2 - sqrt{3}$ , ou $x = log _{5} 2 + sqrt{3}$ , ou $x = log _{5} 2 + sqrt{5}$ .

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