Questão 13

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) O conjunto imagem e o período de f (x) = 2 sen² (3x) + sen (6x) - 1 são, respectivamente,

Gabarito: left [ -sqrt{2}, sqrt{2}
ight ] e

Resolução:

Utilizando algumas relações trigonométricas, temos:

$\f(x) = 2cdot sen^2(3x) + sen(6x) - 1 \f(x) = sen(6x) - [1-2cdot sen^2(3x)] \f(x) = sen(6x) - cos(6x)$

Agora vamos multiplicar a função por $frac{sqrt{2}}{sqrt{2}}$ e colocar o numerador em evidência, logo:

$\f(x) = sen(6x) - cos(6x) \f(x) = sqrt{2}cdot left (frac{1}{sqrt{2}}sen(6x) - frac{1}{sqrt{2}}cos(6x) ight )$

Agora note que $frac{1}{sqrt{2}} = cos(45^{circ}) = sen(45^{circ})$ , substituindo na função teremos:

$\f(x) = sqrt{2}cdot left (frac{1}{sqrt{2}}sen(6x) - frac{1}{sqrt{2}}cos(6x) ight ) \f(x) = sqrt{2}cdot left (cos(45^{circ})sen(6x) - sen(45^{circ})cos(6x) ight ) \f(x) = sqrt{2}cdot (sen(6x-45^{circ}))$

Agora podemos calcular o período e a imagem.

O período da função é:

$P = frac{2pi}{6} = frac{pi}{3}$

Como seno é uma função que varia entre $-1$ e $1$ , a imagem da função $f(x)$ será o intervalo $left [ -sqrt{2};sqrt{2} ight ]$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de q...

Ver questão

Questão 2

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α2 +β2 é igual a

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que , e k ∈ IR. Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valo...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igu...

Ver questão