Questão 11

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sendo [-π/2, π/2] o contradomínio da função arcoseno e [0, π ] o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de

Gabarito:

Resolução:

Seja $arcsenfrac{3}{5} = x$ e $arccosfrac{4}{5} = y$ , utilizando as próprias definições dessas funções e a relação trigonométrica fundamental $sen^2x+cos^2x = 1$ , temos:

(i) $arcsenfrac{3}{5} = x Rightarrow sen(x) = frac{3}{5}$

$left (frac{3}{5} ight )^2 + cos^2x = 1 Rightarrow cos^2x = frac{16}{25} Rightarrow cos(x) = frac{4}{5}$

(ii) $arccosfrac{4}{5} = y Rightarrow cos(y) = frac{4}{5}$

$sen^2y + left (frac{4}{5} ight )^2 = 1 Rightarrow sen^2y = frac{9}{25} Rightarrow sen(y) = frac{3}{5}$

Substituindo (i) e (ii) na função apresentada pelo enunciado, temos:

$\ cosleft ( arcsenfrac{3}{5} + arcosfrac{4}{5} ight ) = cos(x+y) = \ \ = cos(x)cdot cos(y) - sen(x)cdot sen(y) = \ \ = left (frac{4}{5} ight )^2 - left (frac{3}{5} ight )^2 = frac{16-9}{25} = frac{7}{25}$

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

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