Questão 50294

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase)

Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferência de raio $frac{5sqrt{2}}3{}$ . Sabe-se que $overline{AB}$ mede $2sqrt{5}$ e $overline{BC}$ mede $2sqrt{2}$ . Determine a área do triângulo ABC

Gabarito:

Resolução:

Com base nos dados fornecidos pelo enunciado, construindo as mediatrizes e alguns cálculos imediatos de pitágoras, conseguimos construir a seguinte figura:

Agora utilizando ela como base podemos fazer os seguintes cálculos:

$cos(alpha) = dfrac{sqrt{2}}{frac{5sqrt{2}}{3}} = frac{3}{5}$ $cos(eta) = dfrac{sqrt{5}}{frac{5sqrt{2}}{3}} = frac{3sqrt{10}}{10}$

$sen(alpha) = dfrac{frac{4sqrt{2}}{3}}{frac{5sqrt{2}}{3}} = frac{4}{5}$ $sen(eta) = dfrac{frac{sqrt{5}}{3}}{frac{5sqrt{2}}{3}} = frac{sqrt{10}}{10}$

Para encontrarmos a área do triângulo ABC, vamos calcular $sen(alpha+eta)$ . Temos:

$sen(alpha+eta) = sen(alpha)cdot cos(eta) + sen(eta)cdot cos(alpha) = frac{4}{5}cdot frac{3sqrt{10}}{10} + frac{sqrt{10}}{10} cdot frac{3}{5} = frac{3sqrt{10}}{10}$

Assim a área do triângulo ABC será:

$dfrac{ABcdot BC cdot sen(alpha+eta)}{2} = dfrac{2sqrt{5}cdot 2sqrt{2}cdot frac{3sqrt{10}}{10}}{2} = frac{120}{20} = 6$

Portanto, a área do triângulo ABC será igual a 6.

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