Questão 6

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase)

Determine todos os valores de $alpha epsilon ]frac{-pi}{2}, frac{-pi}{2}[$ tais que a equação (em x)

$x^{4}-2sqrt[4]{3}x^{2}+tg alpha=0$

Admita apenas raízes reais simples

Gabarito:

Resolução:

Seja $x^2 = y$ , substituindo na equação teremos:

$y^2 - 2cdot sqrt[4]{3} cdot y + tg(alpha ) = 0$

Teremos que a equação em x terá raízes reais simples, se a equação em $y$ admitir raízes reais positivas distintas, o que ocorre nas seguintes condições:

$(i)$ $Delta > 0 Rightarrow left ( 2cdotsqrt[4]{3} ight )^2-4cdot tg(alpha) > 0Rightarrow sqrt{3} > tg(alpha)$

$(ii)$ $frac{c}{a} = tg(alpha) > 0$

Logo, temos que: $0 < tg(alpha) < sqrt{3}$ , porém $alpha$ está no intervalo $]frac{-pi}{2} , frac{pi}{2} [$ .

Consequentemente, teremos: $0 < alpha < frac{pi}{3}$

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