Questão 5

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase)

Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e $A^{-1}=A^{t}$ . Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.

Gabarito:

Resolução:

Seja M, uma matriz 2x2, tal que:

$M = left[ egin{array}{rcr} a & b \ c & dend{array} ight]$

Do enunciado temos que a matriz é simétrica, portanto:

$M = M^{t} Leftrightarrow left[ egin{array}{rcr} a & b \ c & dend{array} ight] = left[ egin{array}{rcr} a & c \ b & dend{array} ight]Leftrightarrow b =c$

Para que M seja ortogonal, teremos que:

$M^{-1} = M^{t} Leftrightarrow Mcdot M^{-1} = Mcdot M^{t} Leftrightarrow I = Mcdot M^{t}$

Logo:

$left[ egin{array}{rcr} 1 & 0 \ 0 & 1end{array} ight] = left[ egin{array}{rcr} a & b \ c & dend{array} ight] cdot left[ egin{array}{rcr} a & c \ b & dend{array} ight]Leftrightarrow left[ egin{array}{rcr} 1 & 0 \ 0 & 1end{array} ight] = left[ egin{array}{rcr} (a^2+b^2) & (ac+bd) \ (ac+bd) & (c^2+d^2)end{array} ight]$

Substituindo c por b, conseguimos construir o seguinte sistema:

$egin{cases} a^2+b^2 = 1\ ab + bd = 0 \ b^2+d^2 = 1 end{cases} Rightarrow egin{cases} a = pm sqrt{1-b^2}\ b = 0 ext{ ou } a = -d \ d = pm sqrt{1-b^2} end{cases}$

Com esse novo sistema, precisamos garantir que $|b| leq 1$ para que a função raiz esteja definida nos reais.

Para $a = -d$ , temos:

$M = left[ egin{array}{cc} sqrt{1-b^2} & b \ b & -sqrt{1-b^2}end{array} ight]$ ou $M = left[ egin{array}{cc} -sqrt{1-b^2} & b \ b & sqrt{1-b^2}end{array} ight]$ , $forall b in mathbb{R}$ , tal que $|b| leq 1$

Para $b = 0$ , temos essas quatro matrizes:

$M = left[ egin{array}{cc} pm1 & 0 \ 0 & pm1end{array} ight]$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de q...

Ver questão

Questão 2

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α2 +β2 é igual a

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que , e k ∈ IR. Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valo...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igu...

Ver questão