Questão 10

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) É dada a equação polinomial

(a + c + 2)x³ + (b + 3c +1)x² + (c − a)x + (a + b + 4) = 0

com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então o produto abc é igual a

-2

Gabarito: 12

Resolução:

Como 1 é uma raiz da equação, temos:

$\ (a+c+2)x^3+ (b+3c+1)x^2 + (c-a)x + (a+b+4) = 0 \ (a+c+2)1^3+ (b+3c+1)1^2 + (c-a)1 + (a+b+4) = 0 \ a+c+2+b+3c+1 + c-a +a+b+4 = 0 \ a + 2b + 5c + 7 = 0$

Além disso, uma equação polinomial é recíproca se e somente se os coeficientes equidistantes dos extremos, forem iguais. Logo, temos que:

$\ (a+c+2) = (a+b+4) \ (b+3c+1) = (c-a)$

Montando um sistema com essas igualdades, temos:

$egin{cases} a + 2b + 5c + 7 = 0 \ (a+c+2) = (a+b+4) \ (b+3c+1) = (c-a) end{cases} Leftrightarrow$ $egin{cases} a + 2b + 5c + 7 = 0 \ c = 2 + b \ a+ b+2c= -1 end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} a + 2b + 5c + 7 = 0 \ c = 2+b \ a+ b+2(2+b)= -1 end{cases} Leftrightarrow$ $egin{cases} a + 2b + 5c + 7 = 0 \ c = 2+b \ a = -5 -3b end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} (-5-3b) + 2b + 5(2+b) + 7 = 0 \ c = 2+b \ a = -5 -3b end{cases} Leftrightarrow$ $egin{cases} 4b = -12 \ c = 2+b \ a = -5 -3b end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} b = -3 \ c = 2+(-3) \ a = -5 -3(-3) end{cases} Leftrightarrow$ $egin{cases} b = -3 \ c = -1 \ a = 4 end{cases}$

Portanto, o produto $acdot bcdot c$ é:

$acdot bcdot c = 4cdot (-3)cdot (-1) = 12$

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