Questão 9

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sobre a equação polinomial 2x⁴ + ax³ + bx² + cx −1= 0, sabemos que os coeficientes a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e 1/2 - i/2 também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é igual a

-1

Gabarito: 2

Resolução:

Sejam $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ e $x_{4}$ , as quatro raízes da equação, como $x_{1} = frac{1}{2} - frac{1}{2}i$ , obrigatoriamente seu conjugado também é raiz, logo $x_{2} = frac{1}{2} + frac{1}{2}i$ , além disso, no enunciado é informado que $x_{3},x_{4} in mathbb{Z}$ .

Utilizando as relações de Girard para uma equação de grau 4, temos que:

$x_{1}cdot x_{2}cdot x_{3}cdot x_{4} = frac{e}{a}$ , onde $a$ e $e$ são os coeficientes que acompanham, respectivamente, o primeiro e o último termo.

Logo:

$\ left ( frac{1}{2} - frac{1}{2} i ight )cdot left ( frac{1}{2} + frac{1}{2}i ight ) cdot x_{3}cdot x_{4} = -frac{1}{2} \ \ left ( frac{1}{4}+frac{1}{4} ight ) cdot x_{3}cdot x_{4} = -frac{1}{2} \ left ( frac{1}{4}+frac{1}{4} ight ) cdot x_{3}cdot x_{4} = -frac{1}{2} \ \ frac{1}{2}cdot x_{3}cdot x_{4} = -frac{1}{2} \ \ x_{3}cdot x_{4} = -1$

Como temos que $x_{3},x_{4} in mathbb{Z}$ , as únicas soluções serão $x_{3} = 1$ e $x_{4} = -1$ ou $x_{3} = -1$ e $x_{4} = 1$ . Agora que temos todas as raízes, vamos utilizar a forma fatorada para escrever a equação, então temos:

$2cdot (x-1)(x+1)left ( x-left ( frac{1}{2}+frac{1}{2}i ight ) ight )left ( x-left ( frac{1}{2}-frac{1}{2}i ight ) ight ) = 0$

Desenvolvendo esse produto chegamos a:

$2x^4-2x^3-x^2+2x-1=0$

Logo, temos que $a = -2$ , $b = -1$ e $c = 2$

Sendo assim o maior valor entre $a$ , $b$ e $c$ é igual à 2.

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