Questão 7

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o quadrado ABCD com lados de 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado e N um ponto sobre o lado , eqüidistantes de A. Por M traça-se um reta r paralela ao lado e por N uma reta s paralela ao lado , que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado e Q é a intersecção de r com o lado . Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a

Gabarito:

Resolução:

Vamos utilizar a imagem abaixo, construída conforme o enunciado, para nos guiar na resolução:

Seja $x$ a medida do segmento $overline{AM}$ , temos que as áreas dos quadrados serão:

$\AMON = x^2 \OPCQ = (10-x)^2 \ABCD = 10^2$

E sabemos ainda que esses três valores formam uma progressão geométrica na seguinte ordem: $PG = (x^2, (10-x)^2, 10^2)$ . Com isso podemos utilizar que em uma progressão geométrica, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos. Sendo assim, temos:

$left ((10-x)^2 ight )^2 = x^2cdot 10^2$

$left ((10-x)^2 ight )^2 = (xcdot 10)^2$

$(10-x)^2 = 10x$

$100-20x+x^2 = 10x Leftrightarrow x^2-30x+100 = 0$

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:

$x = dfrac{30pm sqrt{500}}{2}$

Porém, $x$ é um valor menor do que $10$ . Logo o único resultado possível é:

$x = dfrac{30-sqrt{500}}{2} = dfrac{30-10sqrt{5}}{2} = 15-5sqrt{5}$

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