Questão 7

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase)

Em um espaço amostral com uma probabilidade $P$ , são dados os eventos $A, B$ e $C$ tais que: $P(A)= P(B) = 1/2$ , com $A$ e $B$ independentes, $P(Acap Bcap C)= 1/16$ , e sabe-se que $P((Acap B)cup (Acap C))=3/10$ . Calcule as probabilidades condicionais $P(C|Acap B)$ e $P(C|Acap B^C)$ .

Gabarito:

Resolução:

Como A e B são eventos independentes, temos:

$P(Acap B) = P(A) cdot P(B) = frac{1}{2} cdot frac{1}{2} = frac{1}{4}$

$P(C|Acap B) = dfrac{P(Acap Bcap C)}{P(Acap B)} = dfrac{frac{1}{16}}{frac{1}{4}} = frac{1}{4}$

Agora para calcularmos $P(C|Acap B^{c})$ , temos que encontrar $P(Ccap Acap B^{c})$ e $P( Acap B^{c})$ . Trabalhando com a terceira informação dada pelo problema, teremos:

$P((Acap B)cup (A cap C)) = P(Acap B)+P(Acap C)-P(Acap Bcap C) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{3}{10} = frac{1}{4} + P(Acap C) - frac{1}{16} Leftrightarrow P(Acap C) = frac{9}{80}$

Além disso, temos que:

$P(Ccap A cap B^{c}) = P(Acap C) - P(Acap Bcap C) = frac{9}{80} - frac{1}{16} = frac{1}{20}$

$P(A cap B^{c}) = P(A) - P(Acap B) = frac{1}{2} - frac{1}{4} = frac{1}{4}$

Portanto:

$P(C|Acap B^{c}) = dfrac{P(Ccap Acap B^{c})}{P(A cap B^{c})} = dfrac{frac{1}{20}}{frac{1}{4}} = frac{1}{5}$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de q...

Ver questão

Questão 2

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α2 +β2 é igual a

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que , e k ∈ IR. Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valo...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igu...

Ver questão