Questão 17
ITA 2004
(ITA - 2004 - 1a Fase) A soma das raízes da equação z3 + z2 - + 2z = 0, z ∈
, é igual a
-2
-1
0
1
2
Gabarito:
-2
Resolução:
z3 + z2 - |z|2 + 2z = 0
Sabemos que |z|2 = z * z' , onde z' é o conjugado de z.
Temos então, que:
z3 + z2 - z*z' + 2z = 0
Fatorando, temos:
z(z2 + z - z' + 2) = 0
Temos que z = 0 ou z2 + z - z' + 2 = 0.
Chamando z = a + bi (com a e b reais), temos:
(a + bi)2 + a + bi - a + bi + 2 = 0, assim
a² - b² + 2a + 2 + (2ab + 2b) i = 0
Igualando parte real e imaginária, temos:
a² - b² + 2a + 2 = 0 (I)
2ab + 2b = 0 (II)
De (II), temos:
2b(a + 1) = 0, então b = 0 ou a = -1.
---> Se b = 0, temos de (I) que:
a² + 2a + 2 = 0 (não há raízes reais)
---> Se a = -1, temos de (I) que:
1 - b² - 2 + 2 = 0, então
b = 1 ou b = -1
Assim, as raízes da equação são:
z1 = -1 -i
z2 = -1 + i
A soma das raízes é -2