Questão 8

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus,

120

130

140

150

160

Gabarito: 160

Resolução:

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por:

$S_{n}=180(n-2)$

Portanto, quando n = 9:

$S_{9}=180(9-2)=1260^{o}$

Do enunciado, sabemos que esses ângulos constituem uma PA cuja razão é igual a 5:

$S_{n}=frac{(a1+a_{n})n}{2}=frac{[2a_{1}+(n-1)r]n}{2}$

$\S_{9}=frac{[2a_{1}+(9-1)5]cdot 9}{2}\\1260^{o}=frac{(2a_{1}+40)cdot 9}{2};;; ightarrow a_{1}=120^{o}\\\a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot r\a_9=120^{o}+8cdot 5=160^{o}$

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