Questão 4

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004 - 1a Fase) Considere a função f: IR , f(x) = 2 cos x + 2i sen x. Então, ∀x, y ∈ IR o valor do produto f(x)f(y) é igual a

f(x + y)

2f(x + y)

4if(x + y)

f(xy)

2 f(x) + 2if (y)

Gabarito:

2f(x + y)

Resolução:

$\f(x)=2cos x+2isin x;;;;;;;;;;;Rightarrow f(x)=2cis ( heta_1 )\\f(y)=2cos y+2icos y;;;;;;;;;;;Rightarrow f(x)=2cis ( heta_2 )$

Fazendo f(x).f(y):

$\f(x)cdot f(y)=2cis ( heta_2 )cdot 2cis ( heta_2 )=4cdot cis ( heta_1 )cdot cis ( heta_2 )=4cdot cis ( heta_1+ heta_2)$

Mas f(x + y) = 2cis(θ₁ + θ₂), então:

$4cdot cis( heta_1)cdot cis( heta_2) =2cdot {color{Red} 2cdot cis( heta_1)cdot cis( heta_2)}$

o que está em vermelho é igual a f(x+y), logo:

$2cdot {color{Red} 2cdot cis( heta_1)cdot cis( heta_2)} =2cdot f(x+y)$

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