Questão 6

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004 - 1a Fase) Seja x ∈ IR e a matriz

Assinale a opção correta.

∀ x ∈ IR, A possui inversa.

Apenas para x > 0, A possui inversa.

São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.

Não existe valor de x para o qual A possui inversa.

Para x = log₂ 5, A não possui inversa.

Gabarito:

∀ x ∈ IR, A possui inversa.

Resolução:

Resolvendo o determinante:

$Det(A)=2^x cdot log_25 - (x^2+1)^{-1} cdot 2^x$

$Det(A)=2^x cdot (log_25 - (x^2+1)^{-1} )$

A matriz é inversível quando seu determinante é diferente de 0.

Por isto, basta testar se $Det(A)=0$ para testar se a matriz é ou não inversível em seus valores:

$Det(A)=0$

$2^x cdot (log_25 - (x^2+1)^{-1} )=0$

A matriz não será inversível então se $2^x =0$ ou $(log_25 - (x^2+1)^{-1})=0$

Testando:

$2^x >0$ para todo valor de x existente.

$log_25 - (x^2+1)^{-1}=0$

$log_25= (x^2+1)^{-1}$

$frac{1}{log_25}= x^2+1$

$x^2 = log_5 2 - 1$

O que é impossível, pois $x^2$ é um número maior ou igual e 0, e $log_52 < 1$ , fazendo com que $log_52 -1 < 0$ .

Logo, o determinante nunca assume valor 0, e a matriz não é inversível pra nenhum valor de X.

Alternativa A.

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