Questão 3

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004 - 1a Fase) Seja α um número real, com 0 < α < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que

$small large alpha^{2x}left(frac{1}{sqrt{alpha}} ight )^{2x^2}<1$ .

] - ∞, 0 ] ⋃ [ 2, + ∞ [.

] - ∞, 0 [ ⋃ ] 2, + ∞ [.

] 0,2 [.

] - ∞,0 [.

] 2, + ∞ [.

Gabarito:

] 0,2 [.

Resolução:

$alpha^{2x}left(frac{1}{sqrt{alpha}} ight )^{2x^2}<1$

1) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:expoentes}:quad left(frac{a}{b} ight)^c=frac{a^c}{b^c}$

$alpha^{2x} cdot frac{1^{2x^2}}{left(sqrt{α} ight)^{2x^2}} <1$

2) Como $sqrt{a}=a^{frac{1}{2}}$ e $1^a=1$

$alpha^{2x} cdot frac{1}{left(α^{frac{1}{2}} ight)^{2x^2}} <1$

3) $mathrm{Aplicar:a:seguinte:propriedade:dos:expoentes:}:left(a^b ight)^c=a^{bc}$

$alpha^{2x} cdot frac{1}{α^{x^2}} <1$

4) Como $frac{1}{x}=x^{-1}$ :

$alpha^{2x} cdot alpha^{-x^2}<alpha^0$

5) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:expoentes}:quad :a^bcdot :a^c=a^{b+c}$

$alpha^{2x-x^2}<alpha^0$

6) Aplicando a propriedade dos expoentes (lembre-se que a base está entre 0 e 1):

$2x-x^2>0$

7) Fatorando:

$xleft(x-2 ight)<0$

8) Aplicando o método do varal:

9) Logo,

o conjunto de todos os valores de x tais que $large alpha^{2x}left(frac{1}{sqrt{alpha}} ight )^{2x^2}<1$ é (0,2)

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