Questão 7

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004 - 1a Fase) Considerando as funções $small arcsen:left[-1,+1 ight ] ightarrowleft[-pi/2,pi/2 ight ]$ e $small arccos:left[-1,+1 ight ] ightarrowleft[0,pi ight ]$ , assinale o valor de

$small cosleft(arcsenleft(frac{3}{5} ight )+arccosleft(frac{4}{5} ight ) ight )$ .

6/25.

7/25.

1/3.

2/5.

5/12.

Gabarito:

7/25.

Resolução:

Façamos

$small cosleft(arcsenleft(frac{3}{5} ight )+arccosleft(frac{4}{5} ight ) ight )= cos(a+b) ightarrow a= arcsenleft(frac{3}{5} ight ) , b=arccosleft(frac{4}{5} ight ) ightarrow$

$small ightarrow sen(a)=frac{3}{5}$

$small ightarrow cos(b)=frac{4}{5}$

Podemos calcular, usando sen²+ cos²=1, o cosseno de a e o seno de b.

$small cos^2(a)+sen^2(a)=1 ightarrow cos^2(a)+(frac{3}{5})^2=1 ightarrow cos(a)=+ frac{4}{5}$

$small cos^2(b)+sen^2(b)=1 ightarrow sen^2(b)+(frac{4}{5})^2=1 ightarrow sen(b)=+ frac{3}{5}$

Como cos (a+b) = cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b), temos:

$small cos (a+b) = cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b)= frac{4}{5} cdot frac{4}{5}-frac{3}{5} cdot frac{3}{5}=$

$small =frac{16}{25}-frac{9}{25}=frac{7}{25}$ .

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