Questão 19

ITA 2004

Matemática

(ITA - 2004 - 1a Fase) Duas circunferências concêntricas C₁ e C₂ têm raios de 6 cm e $6sqrt{2}$ cm, respectivamente. Seja AB uma corda C₂, tangente à C₁. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm²:

$9left(pi-3 ight )$

$18left(pi+3 ight )$

$18left(pi-2 ight )$

$18left(pi+2 ight )$

$16left(pi+3 ight )$

Gabarito:

$18left(pi-2 ight )$

Resolução:

1) Interpretando as informações fornecidas no enunciado:

2) Encontrando o valor de x (usando teorema de Pitágoras):

$(6sqrt{2})^2=6^2+x^2$

$x^2=36 ightarrow x=6$

3) Logo, os triângulos BTO e OTA são isósceles. De modo que OÂT = AÔT e ^OBT = ^TBO, são todos iguais e medem 45º cada.

4) Sendo assim, o menor arco AB mede 90º.

5) Área do setor circular AOB:

$frac{pi r^2}{4} = frac{pi (6sqrt{2})^2}{4} = 18pi$

6) Área do triângulo AOB:

$frac{b cdot h}{2} = frac{12 cdot 6}{2}=36$

7) Logo, a medida da área entre a corda e o menor dos arcos AB é:

$18pi - 36 = oxed{18(pi-2)}$

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