Questão 8022

ITA 1995

Matemática

(Ita 1995) Sabendo-se que e são raízes do polinômio 2x⁵ - 22x⁴ + 74x³ + 2x² - 420x + 540, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é:

Gabarito: 19

Resolução:

Pelo teorema das raízes complexas, temos que se 4 + i√2, então 4 - i√2 também será.

Por Girard:

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 11$ eq. (i)

$x_1cdot x_2cdot x_3cdot x_4cdot x_5 = -270$ eq. (ii)

Com os valores fornecidos no enunciado:

$\4+isqrt{2}+4-isqrt{2}+sqrt{5}+x_4+x_5=11\\ herefore x_4+x_5=3-sqrt{5}\\ herefore x_5=3-x_4-sqrt{5};;;;;eq.;(iii)$

$x_4cdot x_5=-3sqrt{5};;;;;;eq.;;(iv)$

Com (iii) em (iv):

$x_4^{2}+(sqrt{5}-3)x_4-3sqrt{5}=0$

Por soma e produto, x₄ = 3 ---->> x₅ = -√5

ou x₄ = -√5 ---->> x₅ = 3

(-√5)² + 3² + (√5)²= 19

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