Questão 6661

ITA 1995

Matemática

(ITA - 1995) A expressão , 0 < θ < π, é idêntica a:

sec (θ/2).

cosec (θ/2).

cotg (θ/2).

tg (θ/2).

cos (θ/2).

Gabarito:

tg (θ/2).

Resolução:

Do enunciado da questão sabemos que 0 < θ < π, então, desenhemos o círculo trigonométrico:

Existe uma propriedade geométrica em que ficaria fácil de ver que $heta$ = 2y, mas vamos tomar um rumo diferente. Repare no triângulo EOP. EO é 1 e OP é 1, pois EO e OP são raios do círculo. Então o ângulo $Owidehat{E}P$ é igual ao ângulo $Ewidehat{P}O$ . Então, se $Ewidehat{P}O$ é y também, então o ângulo $heta$ é igual a 2y (propriedade do triângulo. É só imaginar que o ângulo $Ewidehat{O}P$ é 180º - 2y que é o suplemento de $heta$ ). Então temos a relação $y=frac{ heta}{2}$ .

A linha amarela é igual a sen( $heta$ ) e a linha vermelha é igual a cos( $heta$ ) + o segmento OE, que é igual ao raio = 1, logo, a linha vermelha é igual a cos( $heta$ ) + 1.

Daí, podemos fazer a tangente do ângulo y:

$tgleft(y ight )=tgleft(frac{ heta}{2} ight )=frac{senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )+1}$

Então a alternativa correta é a Letra D.

SEGUNDA SOLUÇÃO:

A gente sabe que

$senleft( heta ight )=senleft(2cdotfrac{ heta}{2} ight )=2cdot senleft(frac{ heta}{2} ight )cdot cosleft(frac{ heta}{2} ight )$

$cosleft( heta ight )=cosleft(2cdotfrac{ heta}{2} ight )=cos^2left(frac{ heta}{2} ight )-sen^2left(frac{ heta}{2} ight )=cos^2left(frac{ heta}{2} ight )-left(1-cos^2left(frac{ heta}{2} ight ) ight )=cos^2left(frac{ heta}{2} ight )+cos^2left(frac{ heta}{2} ight )-1Rightarrow cosleft( heta ight )=2cdot cos^2left(frac{ heta}{2} ight )-1$ .

Daí, $cosleft( heta ight )+1=2cdot cos^2left(frac{ heta}{2} ight )$ .

Fazendo $frac{senleft( heta ight )}{1+cosleft( heta ight )}$ , temos:

$frac{2cdot senleft(frac{ heta}{2} ight )cdot cosleft(frac{ heta}{2} ight )}{2cdot cos^2left(frac{ heta}{2} ight )}=frac{senleft(frac{ heta}{2} ight )}{cosleft(frac{ heta}{2} ight )}=tgleft(frac{ heta}{2} ight )$ .

Questões relacionadas

Questão 5902

(Ita 1995) Seja A = {(-1)n / n! + sen(n! π/6); n ∈ }. Qual conjunto a seguir é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?

Ver questão

Questão 6467

(ITA -1995) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a...

Ver questão

Questão 6545

(Ita 1995) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termo...

Ver questão

Questão 7083

(Ita 1995) Se x é um número real positivo, com x ≠ 1 e x ≠ 1/3, satisfazendo: então x pertence ao intervalo I, onde:

Ver questão