Questão 54920

INSPER 2014

Matemática

(INSPER - 2014)

As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como "Octógonos". Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um "Octógono" decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles.

A medida de lado do quadro destacado no centro da figura é igual à medida do lado do "Octógono". Se a área desse quadrado é S, antão a área do "Octógono" vale

$S(2sqrt2 + 1)$

$S(sqrt2 +2)$

$2S(sqrt2 + 1)$

$2S(sqrt2 + 2)$

$4S(sqrt2 +1)$

Gabarito:

$2S(sqrt2 + 1)$

Resolução:

Ora, se a área desse quadrado no meio do octógono é S, então quanto vale a em função de S? Veja que o lado desse quadrado é exatamente igual ao lado do octógono, a. Pense que, como falado na questão dos 4 retângulos que existem nessa figura, lados paralelos do retângulo são de comprimentos iguais. Logo, o lado dos retângulos paralelos aos lados do octógono também devem medir a e esses lados paralelos formam justamente o quadrado de área S.

Daí,

$S = a^2Rightarrow a=sqrt{S}$

Agora vamos calcular a área total do octógono em função de a mesmo e só no final vamos substituir o valor de a pelo que foi exposto acima.

São 4 retângulos como foi dito no enunciado, 4 triângulos isósceles e um quadrado S. Os retângulos possuem como um dos lados o lado do octógono a, para descobrirmos a área de cada retângulo nos falta descobrir o valor do outro lado do retângulo que vamos chamar de b (veja que b acaba sendo o comprimento de dois dos lados dos triângulos isósceles - b é o lado menor de cada retângulo na figura acima). Dessa forma, a área dos retângulos é $acdot b$ .

Mas agora observe cada triângulo isósceles da figura. Concorda que são triângulos retângulos também? Veja que esses triângulos são opostos pelo vértice com os vértices do quadrado de área S e por serem opostos pelo vértice, então possuem os ângulos opostos pelo vértices ângulos iguais entre si. Logo, um dos ângulos de cada triângulo isósceles é 90º e este é o ângulo que "olha diretamente" para o lado do octógono. Então, vamos aplicar Pitágoras nesse triângulo:

$b^2+b^2=a^2Rightarrow 2b^2=a^2Rightarrow b=acdotfrac{sqrt{2}}{2}$

Dessa forma, a área de cada retângulo é:

$bcdot a=acdotfrac{sqrt{2}}{2}cdot a=a^2cdotfrac{sqrt{2}}{2}$

Lembrando que a área de um triângulo é base vezes altura sobre dois e que para triângulos retângulos basta multiplicar os dois catetos e dividir por dois para obter a área, temos que a área de cada triângulo isósceles é:

$frac{bcdot b}{2}=frac{b^2}{2}=frac{frac{a^2}{2}}{2}=frac{a^2}{4}$

Logo, como são 4 triângulos e 4 retângulos, a área total do octógono é igual a soma da área de quadrado de área S, mais a soma das áreas dos 4 retângulos mais a soma das áreas dos 4 triângulos:

$S_{octacute{o}gono}=S+4cdot a^2cdotfrac{sqrt{2}}{2}+4cdotfrac{a^2}{4}=S+a^2cdotleft(2sqrt{2}+1 ight )$

Agora substituindo a por $sqrt{S}$ , temos que a área do octógono é:

$S_{octacute{o}gono}=S+left(sqrt{S} ight )^2cdotleft(2sqrt{2}+1 ight )=S+Sleft(2sqrt{2}+1 ight )=Sleft(2sqrt{2}+1+1 ight )Rightarrow$

$Rightarrow S_{octacute{o}gono}=Sleft(2sqrt{2}+1+1 ight )=Sleft(2sqrt{2}+2 ight )=2Sleft(sqrt{2}+1 ight )$

A Letra C é a correta.

Questão 54920

INSPER 2014

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