(Insper 2014) Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao intervalo [91, 269].
P = cos91o ⋅cos92o ⋅ cos93o ⋅ ... ⋅ cos268o ⋅ cos269o
Nessas condições, é correto afirmar que:
-1 < P < - 1/4
- 1/4 < P < 0
P = 0
0 < P < 1/4
1/4 < P < 1
Gabarito:
- 1/4 < P < 0
Veja que para x no intervalo [91º, 269º], cos(x) < 0. Ainda:
cos91o = cos269o
cos92o = cos268o
cos93o = cos267o
...
cos120o = cos240o = -1/2
...
cos179o = cos181o
cos180o = -1
Logo:
P = (cos91o)2 ⋅ (cos92o)2 ⋅ (cos93o)2 ⋅ ... ⋅ (cos120o)2 ⋅ ... ⋅ (cos179o)2 ⋅ cos180o
P = [(cos91o)2 ⋅ (cos92o)2 ⋅ (cos93o)2 ⋅ ... ⋅ (1/2)2 ⋅ ... ⋅ (cos179o)2] ⋅ (-1)
P = -1/4 ⋅ [(cos91o)2 ⋅ (cos92o)2 ⋅ (cos93o)2 ⋅ ... ⋅ (cos119o)2 ⋅ (cos121o)2 ⋅ ... ⋅ (cos179o)2]
Seja r = [(cos91o)2 ⋅ (cos92o)2 ⋅ (cos93o)2 ⋅ ... ⋅ (cos119o)2 ⋅ (cos121o)2 ⋅ ... ⋅ (cos179o)2]. Assim: P = -1/4 ⋅ r.
Veja que:
P < 0, pois só há produto entre fatores elevados ao quadrado e o cosseno de 180º, o qual é -1.
Ainda: r < 1 (pois é um produto de vários fatores cujo módulo está entre 0 e 1). Dessa forma:
r < 1 ==> -1/4 ⋅ r > -1/4 ==> P > -1/4.
Portanto:
-1/4 < P < 0.
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