Questão 8

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

A reta r é normal à cônica 𝐶, de equação 9𝑥² − 4𝑦² = 36, no ponto $mathrm{A = left (3, ! frac{3sqrt 5}{2} ight )}$ e intercepta o eixo das abscissas no ponto B. Sabendo que F é o foco da cônica 𝐶 mais próximo ao ponto A, determine a área do triângulo 𝐴𝐵𝐹.

Gabarito:

Resolução:

$9x^2 - 4y^2 = 36$

$A = left ( 3, frac{3sqrt 5}{2} ight )$

$frac{x^2}{4} -frac{ y^2}{9} = 1 Rightarrow$

$\a = 2 \ b = 3 \ c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13 \ \ c = sqrt{13}$

Derivando implicitamente a equação da hipérbole:

$18x - 8y cdot y = 0 herefore y = frac{18x}{8y} = frac{9x}{4y }$

Coef. angular da reta tangente: $large m_overrightarrow{t} =$ $frac{9 cdot 3}{4 cdot frac{3 sqrt 5}{2}} = frac{9}{2 sqrt 5}$ .

Coef. angular da reta normal: $large m_overrightarrow{m} =$

$overrightarrow{t}: left ( y - frac{3sqrt 5}{2} ight ) = frac{-2 sqrt 5}{9} left ( x - 3 ight )$

$B = overrightarrow{t} cap 0_x Leftrightarrow y_B = 0. frac{-3 sqrt 5}{2} = frac{- 2 sqrt 5}{9} left ( X_B - 3 ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow X_B - 3 = frac{27}{4} Leftrightarrow X_B = 3 + frac{27}{4} = frac{39}{4} B = left ( frac{39}{4},0 ight )$

$\L = egin{vmatrix} frac{39}{4} & 0 \ 3 & frac{3sqrt5}{2} \ sqrt{13} & 0 \ frac{39}{4} & 0 end{vmatrix} = frac{3 sqrt{65}}{2} - frac{3 cdot 39 sqrt5}{8} = frac{3 sqrt 5}{2} left ( sqrt{13} - frac{39}{4} ight ) = \ \ \ = frac{3 sqrt 5}{8} left ( 4 sqrt 13 - 39 ight ) \ \$

$A_{Delta_{ABF}} =$ $frac{|L|}{2} = frac{3 sqrt 5}{16} left ( 39 - 4 sqrt {13} ight )$

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