Questão 6

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Seja $z$ um número complexo tal que $z^{12} in mathbb{R}$ , $Re(z)=1$ e $arg(z) in (0, frac{pi}{2})$ . A soma dos inversos dos possíveis valores de $|z|$ está no intervalo:

$(frac{1}{2}, frac{3}{2})$

$(frac{3}{2}, frac{5}{2})$

$(frac{5}{2}, frac{7}{2})$

$(frac{7}{2}, frac{9}{2})$

$(frac{9}{2}, frac{11}{2})$

Gabarito:

$(frac{5}{2}, frac{7}{2})$

Resolução:

$Z = ho cis ( heta) => mathbb{R}(Z)= ho cos heta = 1 .: ho = frac{1}{cos( heta)}$

Logo, Z seria: $Z = ho cis ( heta)=1+icdot tgleft( heta ight )$

Como Z¹² é real, devemos ter que:

$Z^{12}= ho^{12} cdot cis (12 heta)inmathbb{R}Rightarrow ho^{12}cdot sinleft(12 heta ight )=0Rightarrow sinleft(12 heta ight )=0$ , logo $12 heta = Kpi$ .

$heta=frac{Kpi}{12}=> left{egin{matrix} frac{pi}{12}\ frac{pi}{6}\ frac{pi}{4}\frac{pi}{3}\ frac{5pi}{12}\ end{matrix} ight.$ pois $0< heta<frac{pi}{2}$

Como $left|Z ight|= ho=frac{1}{cos heta}$ , então, $frac{1}{left|Z ight|}=left(frac{1}{cos heta} ight )^{-1}=cos hetaRightarrow sumfrac{1}{left|Z ight|}=sum cos heta$ .

A soma dos possíveis valores será:

$sum = frac{sqrt{2}}{2}(frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2})+frac{sqrt{3}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}+frac{1}{2}+frac{sqrt{2}}{2}(frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2})$

$sum = frac{1}{2}(sqrt{6}+sqrt{3}+sqrt{2}+1)$

Usando $sqrt{2}approx 1,41$ e $sqrt{3}approx 1,73$

$sum=3,29$

Resposta C

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