Questão 15

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE ) Em um tetraedro $ABCD$ , os ângulos $Awidehat{B}C$ e $Awidehat{C}B$ são idênticos e a aresta $AD$ é ortogonal à $BC$ . A área do $Delta ABC$ é igual à área do $Delta ACD$ , e o ângulo $Mwidehat{A}D$ é igual ao ângulo $Mwidehat{D}A$ , onde $M$ é o ponto médio de $BC$ . Calcule a área total do tetraedro $ABCD$ , em $cm^{2}$ , sabendo que $BC = 2cm$ , e que o ângulo $Bwidehat{A}C$ é igual a $30^{circ}$

$left (2 - sqrt{3} ight )$

$left (2 + sqrt{3} ight )$

$4left (2 - sqrt{3} ight )$

$4left (2 + sqrt{3} ight )$

Gabarito:

$4left (2 + sqrt{3} ight )$

Resolução:

Como $Ahat{B}C = Ahat{C}B, overline{AB} = overline{BC} => overline{AM} perp overline{BC}$

Como $Ahat{D}M = Dhat{M}A, overline{AM} = overline{DM} = x$

No $Delta AMC: frac{1}{x}= tg 15 .: x = frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}$

Como $overline{AD}$ é ortogonal a $overline{BC}$ , $overline{DM}perp overline{BC}=> overline{BD}=overline{DC}$

Logo $A Delta_{ABC}=A Delta_{ADC}=A Delta_{ABC}=A Delta_{BDC}=X$

Área total: $4x = frac{4(sqrt{3}+1)}{sqrt{3}-1}= 4(2+sqrt{3})$

Resposta D

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