Questão 9

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Uma corda 𝐶𝐷 corta o diâmetro 𝐴𝐵 de um círculo de raio 𝑅 no ponto 𝐸. Sabendo que o ângulo $Awidehat{B}C = 30^{circ}$ e que $overline{EC} = R sqrt 2$ , calcule a medida do segmento $overline{ED}$ .

Gabarito:

Resolução:

Sejam: $CB = R sqrt 3$ , $BE = a$ , $CE = R sqrt2$ , $ED = x$ .

Como AB é diâmetro, $Awidehat{C}B = 90^{circ}$ .

Daí, $overline{CB} = cos , 30^{circ} cdot overline{AB} Rightarrow overline{CB} = R sqrt 3$

$AE = EA = R + R - a = 2R-a$

Lei dos cossenos com $Delta CEB$ com $widehat{B} = 30^{circ}$ :

$(R sqrt 2)^2 = a^2 + (R sqrt 3)^2 - 2a cdot R sqrt 3 cdot cos 30^{circ} = a^2 + 3R^2 - 2 aR cdot sqrt 3 cdot frac{sqrt 3}{2} Rightarrow$

$Rightarrow 2R^2 = a^2 + 3R^2 - 3aR Rightarrow a^2 + a cdot (-3R) + R^2 = 0, Delta = 9R^2 - 4R^2 = 5R^2.$

Logo, $a = frac{3R pm R sqrt 5}{2}$ , como $a < R$ , então ${color{Red} a = R cdot left ( frac{3 - sqrt 5 }{2} ight )}$

Por potência de ponto: $EB cdot EA = CE cdot ED Rightarrow x cdot (R sqrt 2) = a (2R- a) Rightarrow$

$Rightarrow x = frac{frac{R}{2} cdot (3 - sqrt 5) cdot (2R - frac{R}{2} (3 - sqrt5))}{R sqrt 2} = frac{R cdot (3 - sqrt 5)}{4} cdot left (2 sqrt 2 - frac{3 sqrt 2}{2} + frac{sqrt{10}}{2} ight ) Rightarrow$

$Rightarrow x = frac{R}{4} cdot left (6 sqrt 2 - frac{9 sqrt 2}{2} + frac{3 sqrt{10}}{2} - 2 sqrt{10} + frac{3 sqrt{10}}{2} - frac{5 sqrt 2}{2} ight ) Rightarrow$

$Rightarrow x = frac{R}{4} cdot left ( frac{12 sqrt2 - 9 sqrt 2 - 5 sqrt 2 + 3 sqrt{10} - 4sqrt{10} + 3 sqrt{10}}{2} ight ) =$

$= frac{R}{8} cdot (-2sqrt 2 + 2 sqrt{10}) Rightarrow$

$Rightarrow X = frac{R sqrt 2}{4} cdot ( sqrt 5 - 1)$ , logo, ${color{Red} overline{ED} = frac{R sqrt 2}{4} cdot ( sqrt 5 - 1)}$

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