Questão 7

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE ) Definimos a função $f: mathbb{N} ightarrow mathbb{N}$ da seguinte forma:

$left{egin{matrix} f(0)=0 \ f(1) = 1 \ f(2n)=f(n), n geq 1 \ f(2n+1)=n^2, n geq 1 end{matrix} ight.$

Definimos a função $g: mathbb{N} ightarrow mathbb{N}$ da seguinte forma: $g(n)=f(n)f(n+1)$ .

Podemos afirmar que:

$g$ é uma função sobrejetora.

$g$ é uma função injetora.

$f$ é uma questão sobrejetora.

$f$ é uma função injetora.

$g(2018)$ tem mais do que 4 divisores positivos.

Gabarito:

$g(2018)$ tem mais do que 4 divisores positivos.

Resolução:

(I) f não é injetora, pois:

$f(zn) = f(n), forall n in mathbb{N}$

ou seja, existem valores, de n, diferentes com a mesma imagem.

(II) f não é sobrejetora, pois:

Pra n ímpar, a imagem pela função f é um quadrado perfeito;

Pra n par, digamos, $n = zk, k in mathbb{N}$ , temos: $f(4k) = f(2k)=f(k)$ $f(4p) = f(2p)=f(p)$

Daí, se K é impar, f(k) é um quadrado perfeito.

Mas se K é par, digamos k = zp, temos novamente:

$f(4p) = f(2p)=f(p)$

Daí, se p é impar, ocorre o mesmo para k ímpar, i . e, f(p) é um quadrado perfeito.

Se p é par, ocorre a mesma recorrência anterior, podendo (ou não) chegar a f(1) = 1.

Logo, a imagem f é $s= left { n^{2} ight }, forall n in mathbb{N} => S eq mathbb{N}$ .. f não é sobrejetora

(III) Veja que:

$g(n)=f(n)cdot f(n+1)=a^{2}$ , pois f(n) é sempre um quadrado perfeito (f(1) = 1 e f(0) = 0 também são quadrados perfeitos).

Assim, g não é sobrejetora, pois $Im(g) eq mathbb{N}$

(IV) g não é injetora, pois para n = 1, temos

$g(1)=f(1)cdot f(2)=1 cdot 1 = 1$

$n = z: g(z)=f(2)cdot f(3) = 1 cdot 1 = 1 .: g(1) = g(z)$

(V)

$g(2018)=f(2018) cdot f(2019)= f(1009) cdot f(2019)= 504^{2} cdot 1009^{2}$

g (2018) tem mais de 4 divisores positivos.

Resposta E

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