Questão 3

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Calcule o valor do determinante:

$egin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \ log(81) & log(900) & log(300) \ (log(9))^2 & 2 + 4log(3) + 2(log(3))^2 & (log(3) + 2)^2 end{vmatrix}$

Gabarito:

Resolução:

Seja D o determinante pedido. Então:

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ log81&log900 &log300 \ (log 9)^{2}&2+4log3+2cdot(log3)^{2} & (log3+2)^{2} end{vmatrix}$

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ 4log3&2+2log3 &2+log3 \ (2log 3)^{2}&2+4log3+2cdot(log3)^{2} & (log3+2)^{2} end{vmatrix}$

Seja log 3 = a. Então:

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ 4a&2+2a &2+a \ (2a)^{2}&2+4a+2 a^{2} & (a+2)^{2} end{vmatrix}$

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ 4a&2(a+1) &a+2 \ 4a&2a^{2}+4a+2 & (a+2)^{2} end{vmatrix}$

$D= 4 cdot 2egin{vmatrix} 1 & 1 &1 \ a&(a+1) &a+2 \ a^{2}&a^{2}+2a+1 & (a+2)^{2} end{vmatrix}$

$D= 8egin{vmatrix} 1 & 1 &1 \ a&a+1 &a+2 \ a^{2}&(a+1)^{2} & (a+2)^{2} end{vmatrix}$ --> Determinante de Vandermonde

Logo, pela propriedade de Vandermonde, temos:

$D= 8cdot [(a+2)-(a+1)]cot[(a+2)-a]cdot[(a+1)-a]$

$D= 8cdot 1 cdot 2 cdot 1 = 16$

Resposta E

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