Questão 2

IME 2018

Matemática

(IME - 2018/2019)

Os ângulos $heta_1, heta_2, heta_3,..., heta_{100}$ são os termos de uma progressão aritmética na qual $heta_{11} + heta_{26} + heta_{75} + heta_{90} = frac{pi }{4}$ . O valor de $sen(sum_{i=1}^{100} heta_i)$ é:

-1

$-frac{sqrt{2}}{2}$

$frac{sqrt{2}}{2}$

Gabarito:

$frac{sqrt{2}}{2}$

Resolução:

P.A.: $( heta_{1}, heta_{2}, heta_{3},..., heta_{100})$

$heta_{11}+ heta_{26}+ heta_{75}+ heta_{90} = frac{pi}{4}$ (I)

Note que $heta_{11}$ e $heta_{90}$ são equidistantes dos extremos e que $heta_{26}$ e $heta_{75}$ também.

Então $heta_{11}+ heta_{90} = heta_{1}+ heta_{100}$ e $heta_{26}+ heta_{75} = heta_{1}+ heta_{100}$

Substituindo em (I), temos:

$2cdot( heta_{1}+ heta_{100}) = frac{pi}{4} Rightarrow heta_{1}+ heta_{100} = frac{pi}{8}$ (II)

A soma dessa PA é dada por:

$S_{100} = heta_{1}+ heta_{2}+ heta_{3}+...+ heta_{100} = frac{( heta_{1}+ heta_{100})cdot 100}{2}$

Logo,

$S_{100} = frac{(frac{pi}{8})cdot 100}{2} = frac{100pi}{16}= frac{25pi}{4}$ (III)

Então $sen(sum_{i = 1}^{100} heta_{i}) = senfrac{25pi}{4}$

$= sen (frac{24pi}{4}+frac{pi}{4})$

$= sen (6pi+frac{pi}{4})$

$= sen frac{pi}{4}$

$= + frac{sqrt{2}}{2}$

Resposta D

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