Questão 8

IME 2011

Física

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Uma balsa de $2 x 10^{6}$ kg encontra-se ancorada em um cais realizando uma operação de carregamento. O alinhamento horizontal da balsa é controlado por dois tanques denominados tanque de proa e tanque de popa $(T_{proa} e T_{popa})$ .Cada um desses tanques possui uma bomba que realiza a transferência da água contida em seu interior para o outro tanque. Além desses dois tanques, existe o tanque de calado, denominado $T_{calado}$ , que controla a profundidade (posição vertical) da balsa, captando ou rejeitando a água do mar, de modo que seu plano de embarque permaneça no nível do cais. Um corpo de massa 400 x 10³ kg está embarcado na balsa, a uma distância de 12,5 m a esquerda do centro de gravidade da balsa (cg) e centralizada em relação ao eixo y. Toda situação descrita acima se encontra representada na Figura 1.

Para a determinação do volume de água contido no tanque de calado, foi idealizado um dispositivo composto por duas cargas positivas iguais a 1 $mu$ C, que é capaz de medir a força de repulsão entre as cargas. A primeira carga se localiza em uma bóia no interior do tanque e a segunda carga se localiza no teto, conforme apresentado na Figura 2.

Sabendo-se que: a massa total de água dos tanques de proa e de popa é 1,4 x $10^{6}$ kg; a altura do cais $(h_{cais})$ medida a partir da lâmina d´água é 4 m; a balsa encontra-se nivelada com o cais; e em equilíbrio mecânico, determine:

a) A massa de água em cada um dos três tanques.

b) O módulo da força de repulsão entre as cargas.

Dados:

Densidade da água p = 1000 kg. $m^{-3}$

Permissividade do vácuo $varepsilon _{0}=8,85 x 10^{-12}F.m^{-1}$

Dimensões da balsa:

- Comprimento: c = 100 m;

- Altura: h = 10 m; e

- Largura: 10 m.

Dimensões da balsa:

- Comprimento: c = 100 m;

- Altura: h = 10 m; e

- Largura: 10 m.

Observações:

O corpo possui dimensões desprezíveis quando comparado à balsa;

Só é permitida a rotação da balsa em torno de seu eixo y (ver Figura 1).

Gabarito:

Resolução:

a) Do equilíbrio de translação:

$E = P_{balsa} + P_{agua} + P_{corpo}$

$d_{agua} V_{sub} cdot g = 2 cdot 10^{6} cdot g + m_{agua} g + 4 cdot 10^{5} cdot g$

$m _{agua} = 3,6 cdot 10^{6} kg$

Sendo essa massa total contida dentro da bolsa, observe a figura:

A massa de água contida no tanque de calado é igual a massa total contida entre tanques da proa e da popa:

$m_{calado} = m_{agua} - 1,4 cdot 10^{6}$

$m_{calado} = 2,2 cdot 10^{6} kg$

Podemos utilizar do equilíbrio de rotação pra tentar encontrar a água contida nos tanques de proa e popa. Escolhendo o centro de massa da balsa como o ponto de referência para a aplicação dos torques:

$P_{popa} cdot 32,5 + P_{corpo} cdot 12,5 - P_{proa} cdot 32,5 = 0$

$m_{popa} cdot g cdot 32,5 + 4 cdot 10^{5} cdot g cdot 12,5 - m_{proa cdot g cdot 32,5} = 0$

$m_{proa} - m_{popa} = 1,54 cdot 10^{5} kg$

Pelo enunciado:

$m_{proa} + m_{popa} = 1,4 cdot 10^{6} kg$

Resolvendo o sistema:

$m_{proa} approx 7,78 cdot 10^{5} kg$

$m_{popa} approx 6,23 cdot 10^{5} kg$

b) Assumindo que a distância entre as cargas é a distância entre o nível da água e o teto, é possível determinar essa distÂncia pelo volume de água no tanque de calado:

$V = 30 cdot 9 cdot h = frac{m}{ ho}$