Questão 4

IME 2011

Física

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Um corpo com velocidade v parte do ponto A, sobe a rampa AB e atinge o repouso no ponto B. Sabe-se que existe atrito entre o corpo e a rampa e que a metade da energia dissipada pelo atrito é transferida ao corpo sob a forma de calor. Determine a variação volumétrica do corpo devido à sua dilatação.

Dados:

aceleração da gravidade: g = 10 $m.s^{-2}$ ;
volume inicial do corpo: vi = 0,001 m³;
coeficiente de dilatação térmica linear do corpo: $alpha$ = 0,00001 $k^{-1}$ ;
calor específico do corpo: c = 400 $J.kg^{-1}.K^{-1}$ .

Observações:

o coeficiente de atrito cinético é igual a 80% do coeficiente de atrito estático;
o coeficiente de atrito estático é o menor valor para o qual o corpo permanece em repouso sobre a rampa no ponto B.

Gabarito:

Resolução:

Seja $heta$ o ângulo entre a direção horizontal e o plano inclinado. Pela geometria do problema, notamos que esse ângulo vale 45º.

Considerando que em B o corpo ficará em equilíbrio, é necessário decompor a força peso nas direções normais e na direção da força de atrito:

$N + P_{N} = 0$

$F_{at} + P_{fat} = 0$

Pelas equações de equilíbrio:

$F_{at e} = mg sen heta$

$mu _{e} cdot N = mg cdot sen heta$

$mu _{e} cdot mg cdot cos heta = mg cdot sen heta$

$mu _{e} = tg heta Rightarrow mu _{e} = 1$

Isto posto:

$mu _{c} = 0,8 cdot mu _{e} = 0,8$

Não existe aceleração na direção da força normal, tal que:

$N + P_{N} = 0$

$N = mg cos heta$

Portanto, o trabalho da força de atrito no trajeto igual a $10 sqrt{2}$ é dado por:

$W_{fat} = F_{at} cdot Delta s = (mu _{c} cdot N) cdot Delta s = mu _{c} (mg cdot cos heta) cdot Delta s$

$W_{fat} = 0,8 cdot m cdot 10 cdot frac{sqrt{2}}{2} cdot 10 cdot sqrt{2}$

$W_{fat} = 80 cdot m$

Metade dessa energia é dissipada e convertida em calor, portanto:

$Q = 40 cdot m$

Assim:

$40 m = mc Delta T Rightarrow 40 = 400 cdot Delta T = 0,1 K$

Sabemos que o coeficiente de dilatação volumétrico é o triplo do coeficiente de dilatação linear:

$gamma = 3 alpha$

$Delta V = V_{0} gamma Delta T$

$Delta V = 0,001 cdot 3 cdot 0,00001 cdot 0,1 = 3 cdot 10^{-9} m^{3}$

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