Questão 3

IME 2011

Física

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Em visita a uma instalação fabril, um engenheiro observa o funcionamento de uma máquina térmica que produz trabalho e opera em um ciclo termodinâmico, extraindo energia de um reservatório térmico a 1000 K e rejeitando calor para um segundo reservatório a 600 K. Os dados de operação da máquina indicam que seu índice de desempenho é 80%. Ele afirma que é possível racionalizar a operação acoplando uma segunda máquina térmica ao reservatório de menor temperatura e fazendo com que esta rejeite calor para o ambiente, que se encontra a 300 K. Ao ser informado de que apenas 60% do calor rejeitado pela primeira máquina pode ser efetivamente aproveitado, o engenheiro argumenta que, sob estas condições, a segunda máquina pode disponibilizar uma quantidade de trabalho igual a 30% da primeira máquina. Admite-se que o índice de desempenho de segunda máquina, que também opera em um ciclo termodinâmico, é metade do da primeira máquina. Por meio de uma análise termodinâmica do problema, verifique se o valor de 30% está correto.

Observação:

o índice de desempenho de uma máquina térmica é a razão entre o seu rendimento real e o rendimento máximo teoricamente admissível.

Gabarito:

Resolução:

O rendimento máximo de uma máquina térmica por Carnot é dado por:

$eta_{max} = 1-frac{T_F}{T_Q}$

E o rendimento real é:

$eta_{real} = frac{ au}{Q_q} = frac{Q_Q - Q_F}{Q_Q} = 1 - frac{Q_F}{Q_Q}$

Segundo o enunciado, o índice de desempenho é:

$I_D = frac{eta_{real}}{eta_{max}}$

Para a 1ª máquina, em que $T_Q = 1000K ; e ; T_F = 600 K:$

$eta_{max} = 0,4 ; e ; eta_{real} = 0,32$

Para a 2ª, em que $T_Q = 600K ; e ; T_F = 300K$ :

$eta_{max} = 0,5 ; e ; eta_{real} = 0,2$

A partir do rendimento real da 1ª máquina:

$0,32 = 1-frac{Q_{1F}}{Q_{1Q}} \ Q_{1F} = 0,68Q_{1Q} \ Q_{1Q}=frac{ au_1}{0,32} \ herefore Q_{1F} = frac{0,68 au_1}{0,32}$

Agora do rendimento real da 2ª máquina:

$0,2 = frac{ au_2}{Q_{2Q}}$

Como somente 60% do calor rejeitado por 1 será aproveitado:

$Q_{2Q} = 0,6Q_{1F}$

Portanto:

$0,2=frac{atau_2}{0,6Q_{1F}} Rightarrow au_2 = 0,12Q_{1F} = 0,255 au_1$

Nota-se que o valor de 30% é incorreto.

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