Questão 29

IME 2011

Física

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Um corpo estava em órbita circular em torno da Terra a uma distância do solo igual a sendo o raio da Terra. Esse corpo é colocado em órbita de outro planeta que tem 1/20 da massa e 1/3 do raio da Terra. A distância ao solo deste novo planeta, de modo que sua energia cinética seja 1/10 da energia cinética de quando está em torno da Terra é:

Gabarito:

Resolução:

Coletando os dados:

$left.egin{matrix} ext{Terra:}\Massa=M_T\Raio=R_T \end{matrix} ight|left.egin{matrix} ext{Outro planeta:}\Massa=M_P=frac{M_T}{20}\Raio=R_P=frac{R_T}{3} end{matrix} ight|egin{matrix} ext{Distancias do objeto ate o centro do planeta que esta orbitando:}\d_{total}=d_{solo}+Raio\Terra:d_T=2R_T+R_T=3R_T\Outro;planeta:d_P=d_{solo}+R_P=d+frac{R_T}{3} end{matrix}$

Na situação de o objeto estar orbitando a Terra:

$F_G=F_{ctp}\Gfrac{M_Tcdot m}{(d_T)^2}=frac{m(V_T)^2}{d_T}\ herefore (V_T)^2=Gfrac{M_T}{d_T}$

*Com V_T sendo a velocidade com a qual o objeto orbita a Terra.
A energia cinética do objeto, então, é:
$K_T=frac{m(V_T)^2}{2}=frac{mGM_T}{2d_T}$

Utilizando os mesmos passos, agora com o objeto orbitando o outro planeta:

$F_G=F_{ctp}\Gfrac{M_Pcdot m}{(d_P)^2}=frac{m(V_P)^2}{d_P}\ herefore (V_P)^2=Gfrac{M_P}{d_P}$
Energia cinética:
$K_P=frac{m(V_P)^2}{2}=frac{mGM_P}{2d_P}$

Como a energia cinética no outro planeta é um décimo da energia cinética na Terra, então fazemos:

$K_P=frac{1}{10}K_T\frac{mGM_P}{2d_P}=frac{mGM_T}{20d_T}$
Aplicando as relações conhecidas entre os raios e as massas, podemos fazer:

$frac{mGM_P}{2d_P}=frac{mGM_T}{20d_T}\frac{mGfrac{M_T}{20}}{2d_P}=frac{mGM_T}{20d_T} ightarrow frac{ ot{(mGM_T)}}{40d_P}=frac{ ot{(mGM_T)}}{20d_T}\2d_P=d_T\2(d+R_P)=3R_T\2d+frac23R_T=3R_T\d=frac12(3-frac23)R_T\ herefore left|overline{underline{d=d_{soloPlaneta}=frac76R_T}} ight|$

Questões relacionadas

Questão 16

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] A figura 1 mostra dois corpos de massas iguais a m presos por uma haste rígida de massa desprezível, na iminência do movimento sobre um plano in...

Ver questão

Questão 17

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Um objeto de massa m e carga +q faz um movimento circular uniforme, com velocidade escalar tangencial ν , preso a um trilho sem atrito de raio r. Sabendo que o o...

Ver questão

Questão 21

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Um capacitor de placas paralelas, entre as quais existe vácuo, está ligado a uma fonte de tensão. Ao se introduzir um dielétrico entre as p...

Ver questão

Questão 22

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] A figura acima apresenta um fio condutor rígido sustentado por dois segmentos, imersos em uma região com campo magnético uniforme de m&oa...

Ver questão