Questão 6

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Resolva a equação $z^{2}+frac{9z^{2}}{(z+3)^2}=-5$ onde z pertence ao conjunto dos números complexos.

Gabarito:

Resolução:

$z^{2} + (frac{3z}{z+3})^{2} = -5$

$z^{2}+ (frac{3z}{z+3})^{2} - frac{6z^{2}}{z+3} = -5 - frac{6z^{2}}{z+3}$

$(z-frac{3z}{z+3})^{2} = -5 - frac{6z^{2}}{z+3}$

$(frac{z^{2}}{z+3})^{@} = -5 = frac{6z^{2}}{z+3}$

Seja $x = frac{z^{2}}{z+3}$ :

$x^{2} = -5 -6x$

$x^{2}+6x + 5 = 0$

Resolvendo para x obtemos x' = -1 ou x'' = -5.

Substituindo nos dois casos:

$frac{z^{2}}{z+3} = x = -1$

$z^{2}+z+3 = 0$

$z = frac{-1pm sqrt{11}i}{2}$

$frac{z^{2}}{z+3} = x = -5$

$z^{2}+5z + 15 = 0$

$z = frac{-5 pm sqrt{35}i}{2}$

A solução é o conjunto:

$(frac{-1+ sqrt{11}i}{2}, frac{-1- sqrt{11}i}{2},frac{-5 +sqrt{35}i}{2}, frac{-5 - sqrt{35}i}{2} )$

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