Questão 2

Gabarito:

Resolução:

O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg(1 + x)) = cos(arctg(x)):  

Vamos fazer uma mudança de variável:

a = arccotg(1+x)

b = arctg(x)

sen(a) = cos(b)

sen²(a) = cos²(b) 

Como sen²(a) +cos²(a) = 1 = sen²(b) + cos²(b) (relação fundamental)

Então temos o sistema abaixo

sen²(a) = cos²(b)

sen²(a) +cos²(a) = sen²(b) + cos²(b)

Assim temos cos²(a) = sen²(b)

cos(a) = sen(b)

ou

cos(a) = -sen(b)

Para o primeiro caso:

cos(a) = sen(b) e sen(a) = cos(b)

Deve-se notar que tg(a) = 1/tg(b).

Como tg(a) = 1/(x+1) logo temos que tg(b) = x+1

Mas tg(b) = x da mudança de variável proposta logo como x =x+1 é um absurdo esse caso não nos interessa.

Para o segundo caso:

cos(a) = -sen(b) e sen(a) = cos(b)

Deve-se notar que tg(a) = -1/tg(b)

Como tg(a) = 1/(x+1) logo temos que tg(b) = -(x+1)

Mas da mudança de variável temos que tg(b) =x.

x = -x-1

2x =-1 logo x =-1/2.