Questão 8

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Uma pessoa lança um dado n vezes. Determine, em função de n, a probabilidade de que a sequência de resultados obtidos pelos lançamentos dos dados se inicie por 4 e que, em todos eles, a partir do segundo, o resultado seja maior ou igual ao lançamento anterior.

Gabarito:

Resolução:

O total de casos possíveis no lançamento de um dado n vezes é 6ⁿ.

Assuma o espaço amostral igual a N, tal que N = 6ⁿ.

A quantidade de resultados possíveis onde o resultado do primeiro lançamento e dos n - 1 seguidos maiores ou iguais à jogada anterior será dada por D.

Considere:

x o número de vezes que saiu a face 4 após o primeiro lançamento;
y o número de vezes que saiu 5 após o segundo lançamento;
z o número de vezes que saiu 6 após a terceira jogada;

A restrição é que um lançamento sempre tenha um resultado maior ou igual àquele anteriormente arremessado. Portanto, só é necessário que analisemos as vezes que saíram resultados iguais a 4, 5 ou 6.

Dessa forma:

$x+y+z = n-1$

Esse total de soluções para o problema pode ser obtido por:

Portanto, $n(D) = frac{(n+1)n}{2}$

Concluímos que: $p = frac{n(D)}{n(N)} = frac{(n+1)n}{2 cdot 6^{n}}$

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