Questão 6

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 1a fase] O valor de y real positivo na equação , onde x é um número real maior do que 1 é:

Gabarito:

Resolução:

Isolando os termos:

$(5y)^{log_x{(5)}} = (7y)^{log_x{(7)}}$

Aplicando log_x em ambos os lados e desenvolvendo usando as propriedades da função logarítmica:

$log_x{(5y)^{log_x{(5)}}} = log_x{(7y)^{log_x{(7)}}}$

$log_x{(5)}cdot log_x{(5y)} = log_x{7}cdot log_x{(7y)}$

$log_x{(5)}cdot (log_x{(5)} + log_x{(y)})= log_x{7}cdot (log_x{(7)} + log_x{(y)})$

$(log_x{(5)})^2+ log_x{(5)}log_x{(y)} = (log_x{7})^2 + log_x{(7)}log_x{(y)}$

$(log_x{(5)})^2 - (log_x{7})^2 = log_x{(7)}log_x{(y)} - log_x{(5)}log_x{(y)}$

$(log_x{(5)} - log_x{(7}))(log_x{(5)} + log_x{(7)}) = (log_x{(7)}-log_x{(5)})log_x{(y)}$

Podemos simplificar e obter:

$-(log_x{(5)} + log_x{(7)}) = log_x{(y)}$

$(log_x{(5*7)^{-1}}) = log_x{(y)}$

Portanto, $(5*7)^{-1} = (y)$ .

$y = frac{1}{35}$

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