Questão 7

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Considere o conjunto de números complexos E = {a + bω}, onde a e b são inteiros e ω = cis (2π/3). Seja o subconjunto U = {α∈E / ∃β∈E no qual αβ =1}. Determine:

a) Os elementos do conjunto U.

b) Dois elementos pertencente ao conjunto Y = E - U tais que o produto seja um número primo.

Gabarito:

Resolução:

A) Sendo $alpha =a+omega b=a+bleft ( frac{1}{2}+frac{sqrt{3}i}{2} ight )$ e $eta =c+omega d=c+dleft ( frac{1}{2}+frac{sqrt{3}i}{2} ight )$ , temos que:

$alpha eta =left ( a-frac{b}{2} ight )left ( c-frac{d}{2} ight )+frac{sqrt{3}i}{2}left ( ad+frac{bd}{2}+cb+frac{bd}{2} ight )-frac{3bd}{4}=1$

Notamos que a parte imaginária desse complesxo é nula. Logo, concluímos que $overline{alpha eta}=1$ . Assim:

$overline{alpha eta}cdot alpha eta=1$

$ar{alpha}alphacdot ar{eta} eta=1$

Calculando cada um:

$ar{alpha}alpha=left ( a-frac{b}{2} ight )^2+frac{3b^2}{4}=a^2-ab+b^2$

$ar{eta} eta=left ( c-frac{d}{2} ight )^2+frac{3d^2}{4}=c^2-cd+d^2$

Analisando a concavidade das funções $f(a)=a^2-ab+b^2$ e $f(c)=c^2-cd+d^2$ , notamos que ambas são maiores ou iguais a 1.

Vamos voltar à equação $ar{alpha}alphacdot ar{eta} eta=1$ :

$(a^2-ab+b^2)cdot (c^2-cd+d^2)=1$

Os termos solucionam a equação se um for o inverso do outro. Mas ambos são maiores ou iguais a 1. Logo, concluímos que necessariamente ambos são iguais a 1.

$a^2-ab+b^2=1$

$a=frac{bpm sqrt{4-3b^2}}{2}$

Se |b| for maior que 1, a raiz fica negativa, o que é um absurdo. Então, $|b|=0$ ou $|b|=1$ . O mesmo raciocínio pode ser feito com a. Então chegamos nos resultados para $alpha$ :