Questão 2

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Considere o determinante de um matriz de ordem n definido por:

$Delta _{n} = egin{vmatrix} 1 &1 &1 &1 &cdots &1 &1 \ -1& 3 &0 &0 &cdots &0 &0 \ 0 &-1 &3 &0 & cdots &0 &0 \ 0 &0 & -1 &3 & cdots &0 &0 \ cdots &cdots &cdots &cdots &cdots &cdots &cdots \ 0 & 0& 0 &0 &cdots &3 &0 \ 0 & 0 & 0& 0 & cdots& -1 &3 end{vmatrix}$

Sabendo que $Delta _{1} = 1$ , o valor de $Delta _{10}$ é:

59049

48725

29524

9841

364

Gabarito:

29524

Resolução:

Notemos que utilizando o teorema de Laplace na última coluna desta matriz, precisamos calcular apenas dois cofatores, pois a última coluna possui apenas dois elementos não núlos ( $a_{1,n}$ , na primeira linha e última coluna n, e $a_{n,n}$ , na última linha e última coluna).

Assim, calculando seu determinante por Laplace, teremos:

$det = a_{1,n} cdot (-1)^{1+n} cdot det(C_{1,n}) + a_{n,n} cdot (-1)^{n+n} cdot det (C_{n,n})$

Sendo $C_{i,j}$ o determinante da matriz sem a linha i e coluna j, utilizada no cálculo do cofator.

Substituindo valores dados no exercício, temos:

$det = 1 cdot (-1)^{1+n} cdot det(C_{1,n}) + 3 cdot (-1)^{n+n} cdot det (C_{n,n})$

Podemos notar que n+n sempre será par, então $(-1)^{n+n}$ sempre será igual a 1:

$det = 1 cdot (-1)^{1+n} cdot det(C_{1,n}) + 3 cdot det (C_{n,n})$

Podemos notar que retirando a primeira linha e última coluna, a matriz $C_{1,n}$ é triângular superior, em que todos os elementos da diagonal principal são -1, assim:

$C_{1,n} = egin{bmatrix} -1 & 3 & 0 & ... & 0\ 0&-1 & 3 & ... & 0\ 0& 0 & -1 & ... & 0\ ... & ... & ... & ... & 0\ 0& 0 & 0 & 0 & -1 end{bmatrix}$

Ou seja, o seu determinante é $(-1)^{n-1}$ (pois a diagonal principal tem n-1 elementos).

Substituindo:

$det = 1 cdot (-1)^{1+n} cdot (-1)^{n-1} + 3 cdot det (C_{n,n})$

$det = 1 cdot (-1)^{2n} + 3 cdot det (C_{n,n})$

$det = 1 + 3 cdot det (C_{n,n})$

Para calcular o determinante da matriz $C_{n,n}$ restante, basta notar que podemos aplicar Laplace nesta matriz da mesma forma até encontrar o sua ultima linha e coluna, pois todas terão a mesma forma a partir da última. Assim, concluimos que o determinante de cada matriz de ordem n dessa matriz terá seu determinante igual a: