Questão 6

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Demonstre que a matriz $egin{pmatrix} y^{2} + z^{2} &xy &xz \ xy& x^{2} + z^{2} & yz \ xz & yz & x^{2} + y^{2} end{pmatrix}$ onde $x,y,z in mathbb{N}$ , pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais.

Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.

Gabarito:

Resolução:

A matriz analisada é transposta. Logo, vamos cosiderar uma matriz original também transposta:

$A^2=M$

$egin{pmatrix} a & b & c\ b & d &e \ c & e& f end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} a & b & c\ b & d &e \ c & e& f end{pmatrix}=$

$egin{pmatrix} a^2+b^2+c^2 & ab+bd+ec & ac+be+cf\ ab+bd+ec & b^2+d^2+e^2 &bc+ed+ef \ ac+be+cf & bc+ed+ef & c^2+e^2+f^2 end{pmatrix}=egin{pmatrix} y^{2} + z^{2} &xy &xz \ xy& x^{2} + z^{2} & yz \ xz & yz & x^{2} + y^{2} end{pmatrix}$

Fazendo uma análise: $left{egin{matrix} a^2+b^2+c^2=y^2+z^2\ bc+ed+ef=yzend{matrix} ight.$

Logo: $a=0$ e $b^2+c^2=y^2+z^2$ .

Analisando outras linhas:

$d=0$ e $b^2+e^2=x^2+z^2$ .

$f=0$ e $e^2+c^2=y^2+x^2$ .

$herefore$ $e=x$ , $c=y$ e $b=z$ .

Matriz A é:

$A=egin{pmatrix} 0 & z & y\ z & 0 & x\ y& x & 0 end{pmatrix}$

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