Questão 4

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD. A diagonal AC divide Â em dois ângulos, iguais a 30° e 15°. A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero A’B’C’D’. Calcule o perímetro de A’B’C’D’.

Gabarito:

Resolução:

Como $Ahat{B}A=Ahat{A}B$ , o quadrilátero $AABb$ é cíclico. Assim, $Ahat{B}D=30^circ$ .

Analogamente, o quadrilátero $BbCC$ também é cíclico. Então, $Dhat{B}C=15^circ$ .

Dessa forma, o quadrilátero A'B'C'D' é semelhante ao quadrilátero ABCD. Então, descobrindo a medida de um dos lados, descobrimos o perímetro.

• O ângulo $Ahat{D}C$ é igual a 135° e o ângulo $Ahat{C}D$ é igual a 30°. Assim:

⇒ $frac{sen(135)}{AC}=frac{sen(30)}{x}$

$frac{frac{sqrt{2}}{2}}{AC}=frac{frac{1}{2}}{x}$

$AC=sqrt{2}x$

$frac{AC}{2}=frac{sqrt{2}x}{2}$ → metade da diagonal maior

⇒ $frac{sen(15)}{y}=frac{sen(30)}{x}$

$frac{frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}}{y}=frac{frac{1}{2}}{x}$

$y=(frac{sqrt{6}-sqrt{2}}2{})x$

⇒ $BO^2=y^2+AO^2-2yAOcdot cos(30)$

$BO^2=frac{8-4sqrt{3}}{4}x^2+frac{x^2}{2}-sqrt{3}x^2cdot frac{2sqrt{3}-2}{4}$

$BO^2=frac{8-4sqrt{3}}{4}x^2+frac{x^2}{2}+frac{2sqrt{3}-6}{4}x^2$

$BO^2=frac{4-2sqrt{3}}{4}x^2$

$BO=frac{sqrt{3}-1}{2}x$ → metade da diagonal menor

• Trigonometria no triângulo AA'B:

$sen(60)=frac{AA}{y}$

$AA=frac{sqrt{3}y}{2}$

• $frac{AC}{2}-AA=frac{sqrt{2}x}{2}-frac{sqrt{3}y}{2}$

$frac{AC}{2}-AA=frac{sqrt{2}x}{2}-frac{sqrt{3}}{2}cdot (frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{2})x$

$frac{AC}{2}-AA=frac{sqrt{2}x}{2}- (frac{3sqrt{2}-sqrt{6}}{4})x$

$frac{AC}{2}-AA= (frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4})x$

$AO= (frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4})x$

Razão de semelhança entre os quadriláteros:

$frac{aO}{BO}= frac{(frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4})x}{frac{(sqrt{3}-1)x}{2}}$

$frac{aO}{BO}=(frac{sqrt{2}}{2})$

• Perímetro do quadrilátero maior:

$P=2x+2y=2x+(sqrt{6}-sqrt{2})x$

$P=(2+sqrt{6}-sqrt{2})x$

• Perímetro do quadrilátero menor:

$frac{p}{P}=left ( frac{sqrt{2}}{2} ight )$

$frac{p}{(2+sqrt{6}-sqrt{2})x}=left ( frac{sqrt{2}}{2} ight )$

$p=(sqrt{3}+sqrt{2}-1)x$

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