Questão 1

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Sejam os conjuntos $P_{1}, P_{2}, S_{1}, e S_{2}$ tais que $(P_{2} cap S_{1}) subset P_{1}, (P_{1}cap S_{2}) subset P_{2} e (S_{1} cap S_{2}) subset (P_{1} cup P_{2})$ .

Demonstre que $(S_{1} cap S_{2}) subset (P_{1}cap P_{2})$ .

Gabarito:

Resolução:

I) Tome um elemento x tal que $x in (S_1 cap S_2)$ . Logo, x pertence a $S_1$ e a $S_2$ .

Como $(S_1 cap S_2)subset (P_1 cup P_2)$ , todo elemento que pertence a $(S_1 cap S_2)$ também pertence a $(P_1 cup P_2)$ .

II) Pela definição de união de conjuntos: se $x in (P_1 cup P_2)$ , então $x in P_1$ ou $x in P_2$ . Vamos conferir cada possibilidade:

⇒ $x in P_1$

O elemento x pertence a $P_1$ e a $S_2$ , como visto em I), Logo: $x in (P_1 cap S_2)$ .

Como $(P_1 cap S_2) subset P_2$ , temos que $x in P_2$ . Dessa forma, como $x in P_1$ e $x in P_2$ , então $x in (P_1 cap P_2)$ .

⇒ $x in P_2$

O elemento x pertence a $P_2$ e a $S_1$ , como visto em I), Logo: $x in (P_2 cap S_1)$ .

Como $(P_2 cap S_1) subset P_1$ , temos que $x in P_1$ . Dessa forma, como $x in P_1$ e $x in P_2$ , então $x in (P_1 cap P_2)$ .

Foi provado que $x in (P_1 cap P_2)$ .

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