(IME - 2009/2010) Sejam as funções f: ℜ → ℜ , g: ℜ → ℜ , h: ℜ → ℜ . A alternativa que apresenta a condição necessária para que se f(g(x)) = f(h(x)), então g(x)=h(x) é:
f(x) = x
f(f(x)) = f(x)
f é bijetora
f é sobrejetora
f é injetora
Gabarito:
f é injetora
Seja g(x) = y1 e h(x) = y2.
Temos que:
se f(y1) = f(y2), então y1 = y2.
Notemos que essa sentença indica que para cada imagem f(y) que existir, esta estará relacionada com um ÚNICO y no domínio de f. Sendo assim, concluímos que f é necessariamente uma função injetora.
GABARITO: e
a) Embora f(x) = x seja uma função injetora, não necessariamente f(x) deve ser essa função, pois há uma infinidade de funções injetoras possíveis.
b) Seja f(x) = y, temos que se f(f(x)) = f(x), então f(y) = y. Isto é, f(x) = x assim como na alternativa (a).
c) Embora f ser bijetora implica que f é injetora, não é necessário que f seja sobrejetora para que a sentença dada no enunciado seja verdadeira.
d) f tem que ser necessariamente injetora e não sobrejetora.