Questão 8

Gabarito:

750 ≤ k < 780

Resolução:

Todo número natural positivo que é múltiplo de 6, pode ser escrito por uma lei de formação , assim como todo múltiplo de 8 pode ser escrito como .

Assim, realizando as operações 6n=999 e 8m=999 posso conferir quantos múltiplos existem de cada um desses números. Note que vou utilizar até o 999, pois a questão pede até valores menores do que mil.

Utilizando a parte inteira, vejo que existem 166 múltiplos de 6 entre 1 e 999 (posso até conferir, fazendo 6x166 = 996 e vendo que ele é realmente o maior múltiplo possível). Dando sequência.

Logo, há 124 múltiplos de 8 entre 1 e 999.

Porém, é necessário considerar os números que são múltiplos tanto de 6 quanto de 8. O MMC de 6 e 8 é 24, logo todo número que for múltiplo de 24 será simultaneamente múltiplo de 6 e de 8.

Entre 1 e 999, há 41 múltiplos de 24.

Por fim, 

Note que eu se soma 41, que é o número de múltiplos de 24, pois ao subtrair os múltiplos de 6 e depois subtrair os múltiplos de 8, os múltiplos de 24 são subtraidos duas vezes (pois são simultaneamente múltiplos de 6 e de 8) e por isto é necessário somá-los uma vez para corrigir isto, assim como se faz com conjuntos.