Questão 4
FUVEST 2021
(FUVEST - 2021 - 2ª FASE)
Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto O detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F , no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.
a) Quantas são as formas possíveis de exatamente quatro indústrias irregulares estarem distribuídas entre as 24 indústrias do parque?
b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22?
c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos?
Gabarito:
Resolução:
a) Como temos 24 indústrias DISTINTAS, para o caso proposto no item A (formas possíveis de exatamente 4 indústrias contaminadas), basta fazermos uma combinação de 24 tomadas 4 a 4.
maneiras
b) Para que sejam usadas apenas 22 testes, as indústrias contaminadas devem pertencer a, exatamente, quatro dentre os ramos A, B, C, D e E. Para realizar este cálculo basta que se escolha 4 dos seis ramos que estarão contaminados e, desses quatro ramos, com 16 empresas ao total, se escolha 4 das 16 empresas que estarão contaminadas. Isso se faz de
formas dividindo tudo pelo total encontrado no item A, temos
c) Podemos gastar 14 testes se existirem apenas 2 ramos contaminados ou 10 testes com 1 ramo contaminado. Isso se faz com
*
ou
**
Dividindo-se 1026 por todas as formas encontradas no item A, temos: